摘要：完全平方式是初中数学的重要知识点，用于解决几何图形难题中，可以简化计算，提高解题效率.教学中，教师应结合学情，做好经典几何图形难题的筛选、讲解，使学生掌握运用完全平方式解决不同几何图形难题的思路，指引其以后更为高效地解决相关问题，提高解题自信.
关键词：初中数学；完全平方式；几何图形；难题
完全平方式的形式为（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2，内容不难记忆.但是如何灵活用于解题并非易事，一方面，需要厘清各项的关系，能够快速进行正向和逆向推理；另一方面，要能够根据实际情况将公式与几何图形中的参数对应起来，从几何视角对完全平方式有更深的认识与理解.初中数学教学中，教师既要通过提问及时跟踪学生的学习与理解情况，又要与学生一起进行相关难题的剖析，启发学生活学活用.
1 求面积
求几何图形的面积是学生学习中常见的问题，主要依据对应几何图形的面积计算公式[1].但是部分习题考查的重点并非简单的数字运算，而是给出字母，要求运用完全平方式、勾股定理等内容进行运算，考查的知识面广.一些习题还需要设出参数，具有一定的难度与技巧.
例1一个直角三角形可以分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图1所示的长方形就是由两个这样的图形拼成的，若AB=m，AC=n（m，n为常数，且mlt;n），则该长方形的面积是.（用含有m，n的代数式表示）
分析：解答该题需要认真读图，明确图中线段之间的关系，设出对应参数，表示出长方形面积的表达式，而后运用勾股定理、完全平方式进行计算.
解析：根据题意，设小正方形的边长为x.图1由两个大的直角三角形构成，每个直角三角形的斜边为m+n，两条直角边分别为m+x，n+x.问题转化为求（m+x）（n+x）的值.
显然，由勾股定理可得
（m+n）2=（m+x）2+（n+x）2.①
由m－n=（m+x）－（n+x），得（m－n）2=［（m+x）－（n+x）］2，于是（m－n）2=（m+x）2－2（m+x）（n+x）+（n+x）2.将①代入等式右边，可得（m－n）2=（m+n）2－2（m+x）（n+x），即m2－2mn+n2=m2+2mn+n2－2（m+x）（n+x），整理得（m+x）（n+x）=2mn，即长方形的面积为2mn.
2 求线段长
在几何图形问题中，求线段长度问题较常见，因问题情境的复杂性，决定了在求解的过程中需要应用不同的思路、方法[2].一般可以通过线段的等量代换，借助锐角三角函数值进行计算.然而部分问题则需要通过构造方程来求解.构造方程的常见思路有：根据勾股定理构造方程、根据面积间的关系构造方程、根据完全平方式构造方程.
例2如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC=6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）.
A.26 B.20 C.19 D.18
分析：通过分析已知条件、证明三角形全等，明确△ABC和四边形FNCM面积的相等关系，结合空白部分的面积列出对应的关系式.同时，借助勾股定理、完全平方式，列出另一等式，最终通过联立求出AB的长.
解析：由四边形ABGF，ACED，BCHI均为正方形，可得∠FAB=∠F=∠ACB=90°，AF=AB，∠FAC+∠BAC=∠BAC+∠ABC=90°，则∠FAC=∠ABC.易得△FAM≌△ABN（ASA），所以S△FAM=S△ABN，即S△ABC=S四边形FNCM.
由空白部分面积为10.5，可得S空白=S正方形ABGF－S四边形FNCM－S△ABC=AB2－2S△ABC=10.5，即
AB2－AC·BC=10.5.②
在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2.由AC+BC=6，得（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC·BC=36，即
AB2+2AC·BC=36.③
将②③联立解得3AB2=57，则AB=19或者AB=－19（负值舍去）.故选：C.
3 求最值
在几何图形中求最值，一般需要结合图形，通过三角形、圆的性质进行分析、计算出结果[3].部分习题需要对要求解的问题进行转化，通过勾股定理构造出二次函数，借助二次函数的性质求解.
例3如图3，四边形ABCD是边长为4的正方形，E是对角线AC上任意一点，将正方形绕点B逆时针旋转90°以后，点E的对应点为E′，则点B到线段EE′距离的最小值为（）.
A.1B.2C.3D.2
分析：根据题干描述画出对应的图形，根据正方形及旋转性质对要求解的问题进行转化.设AE的长为x，表示出AE′，借助勾股定理构造方程，运用完全平方式展开，最终借助二次函数的性质求出结果.
解析：连接BE，BE′，EE′，如图4.
由正方形及旋转性质容易得到AE=A′E′，△BEE′是等腰直角三角形，且∠A′AC=90°.过点B作BM⊥EE′于点M，则BM=12EE′.要求BM的最小值，只需求EE′的最小值.
由四边形ABCD是边长为4的正方形，得AC=42+42=42.设AE=x，则AE′=CE=42－x.在Rt△AEE′中，由勾股定理可得EE′2=AE2+AE′2=x2+（42－x）2=x2+32－82x+x2=2（x－22）2+16.由二次函数的性质可知，当x=22时，EE′2有最小值16，此时EE′=4，则BM=2，即点B到线段EE′距离的最小值为2.故选：D.
4 其他问题
完全平方式在初中数学解题中有广泛的应用场景.部分习题考查的知识较零碎，涉及面广.解答该类问题，既要运用已知条件，认真观察图形，又要联系相关的解题经验，寻找解题切入点，尤其要注意构造完全平方式，确定线段的长度范围.
例4如图5所示，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d，且clt;alt;dlt;b，若a=2，b+c=12，则下列说法错误的是（）.
A.d=10
B.BD2=12
C.四边形ABCD的面积是24
D.ADlt;BC
分析：该题难度不大，考查的知识点有三角形的三边关系、勾股定理、几何图形的面积求法等，其中构造完全平方式，确定线段长度的取值范围是解题的关键.
解析：由题意可得b=BC2，d=AD2.又dlt;b，则ADlt;BC，所以选项D正确.
在Rt△ABD与Rt△BCD中，由勾股定理可得BD2=AB2+AD2，BD2=DC2+BC2.又a=AB2，c=CD2，则BD2=a+d=c+b=12.又a=2，则d=10，所以选项A，B均正确.
由bgt;c，得（b－c）2gt;0，展开得到b－2bc+c=12－2bc≥0，即bc≤6.又a=2，d=10，同理可得adlt;6.又S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12ad+12bclt;6≠24，所以选项C错误.
故选：C.
总之，借助完全平方式可以解决很多几何图形难题.但是考虑到一些习题较抽象，设问角度新颖，为更好地找到突破口，应具体问题具体分析，注重作出辅助线，理顺线段、角度关系，必要情况下可证明三角形全等、三角形相似，为更好地运用完全平方式解题奠定坚实基础.
参考文献：
[1]郭园园，赵祥.数形结合在初中数学代数类解题中的妙用——以一道完全平方式的几何背景题为例[J].数理天地（初中版），2024（20）：4647.
[2]彭渭荣.例谈构建多元化课堂教学——以“完全平方公式”教学为例[J].中学数学教学参考，2023（21）：1819.
[3]王小学.巧用完全平方式克“难题”[J].中学生数理化（八年级数学）（配合人教社教材），2023（Z1）：50.